VIELMATEMATICAS

     

                      AGULOS INTERNOS DE POLIGONOS                                         
          Los polígonos que tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales se                  
           llaman 
    polígonos regulares. Por ejemplo, el polígono que tiene ocho ángulos      
            y ocho lados iguales se llama octágono regular.                                                            
     
            Otra vez, el triángulo y el cuadrilátero regulares son excepciones.                                  
     
            ¿Cómo le llamamos normalmente a un triángulo regular?                                             
            ¿Y a un cuadrilátero regular?                                                                                      
           Como los polígonos regulares tienen todos sus ángulos iguales, es muy fácil  
         calcular cuánto miden sus ángulos internos y sus ángulos externos. En general,
          cuando se habla de los ángulos internos de un polígono, se le refiere en
          singular, es decir se dice el ángulo interno del polígono, porque es el mismo
          valor para todos los ángulos.                                                                                          
          Para verificar que hablamos en los mismos términos, establezcamos que el
          ángulo interno de un polígono es el ángulo que forman dos lados que se toca,                
         el ángulo externo es aquel que forman un lado y la prolongación de otro que lo    
          toca.                                                                                                                           
             Una cosa más antes de empezar a calcular cuánto miden el ángulo interno y
            el ángulo externo de un polígono. Hace más de dos mil años, el matemático
          griego Euclides demostró que la suma de los tres ángulos internos de
          cualquier triángulo es exactamente 180º.                                                                                                
          Ahora sí, empecemos... Tomemos como ejemplo un octágono. Lo primero que
          hacemos es dividir al octágono en triángulos trazando líneas desde uno de los
          vértices.                                                                                                        
                                                     
    Fíjate que con estas líneas que trazamos hemos distribuido a los ángulos del octágono en diferentes triángulos. Por lo tanto, podemos decir que los ángulos de los triángulos forman los ángulos del octágono. Como hemos formado seis triángulos y como los ángulos de cada uno de ellos suman 180º, sabemos que la suma total de todos los ángulos del octágono es igual a lo que vale la suma de los ángulos en cada triángulo, es decir, 6 180º o sea 1080º.                              
    Por lo tanto, la suma de los ocho ángulos del octágono regular es de 1080º. Ahora, como sabemos que todos los ángulos del octágono regular miden lo mismo, para saber cuánto mide cada uno de ellos, hay que dividir 1080º entre ocho. Luego, cada uno de los ángulos internos de un octágono regular mide 135º.                      
    El ángulo interno y el ángulo externo son suplementarios, es decir, suman 180°. Así que para saber cuánto mide el ángulo exterior del octágono, sólo hay que restar 135° de 180°. El ángulo externo de un octágono mide 45°.                                                                                                                                                                                      
    Para poder sacar un fórmula, necesitamos hacer un generalización: saber cuántos triángulos se forman cuando trazamos diagonales desde un solo vértice.                
    En el caso del cuadrado, podemos trazar una única diagonal y obtenemos dos triángulos.                                                                                                              
    En el caso de un pentágono, podemos trazar dos diagonales y obtener tres triángulos.                                                                                                                
    Traza las diagonales de estos polígonos para que puedas llenar la siguiente tabla. Recuerda que sólo hay que trazar las diagonales desde uno de los vértices.                       
    Número de lados
    Número de diagonales
    Número de triángulos
    4
    1
    2
    5
    2
    3
    6
    3
     
    7
     
    5
    8
     
     
    9
     
     
    10
     
     
    14
     
     
    23
     
     
    100
     
     
    ¿Podrías decir a partir de esta tabla cuál es la regla?                                                    
    En matemáticas decimos que si es el número de lados del polígono, desde un vértice se pueden trazar (-3) diagonales y obtenemos ( -2) triángulos.                     
    Ya casi acabamos. Recuerda que para saber cuánto mide el ángulo interno del octágono multiplicamos 6 x180º (es decir, multiplicamos el número de triángulos por la cantidad que suman los ángulos internos de cada uno de ellos) y al final dividimos esta cantidad entre ocho, el número de lados del octágono.                            
    Es eso precisamente lo que tenemos que hacer con cualquier polígono: multiplicar el número de triángulos ( -2) por 180° y dividirlo entre el número de lados ( ). La fórmula general queda entonces así:                                                                     
    Si n es el número de lados del polígono,  
                                                             
    Ángulo interno =                        
    Y para el ángulo externo, hay que restar esa cantidad de 180°, es decir
    Ángulo externo = 180° - 
    Para terminar, hagamos un ejemplo. Calculemos los ángulos interno y externo de un eneágono. Como el número de lados es igual a 9,
    Ángulo interno = = 140°Ángulo externo = 180° - = 180° - = 180° - 140° = 40°

    Ángulos interiores de polígonos

    Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura.

                    Triángulos

    Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°

    90° + 60° + 30° = 180°

    80° + 70° + 30° = 180°

       
    ¡En este triángulo es verdad!
     

    Vamos a inclinar una línea 10° ...

    También funciona, porque un ángulo aumentó 10°, pero otro disminuyó 10°

                  Cuadriláteros (cuadrados, etc.)

                   (Un cuadrilátero es una figura de 4 lados)

    90° + 90° + 90° + 90° = 360°

    80° + 100° + 90° + 90° = 360°

    Un cuadrado suma 360°
     

    Vamos a inclinar una línea 10° ... ¡también suman 360°!

    Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360°

                      Porque en un cuadrado hay dos triángulos

    Los ángulos interiores de este triángulo suman 180° 

    (90°+45°+45°=180°)

    ... y los de este cuadrado360°

    ... ¡porque el cuadrado está hecho de dos triángulos!

                        Pentágono

     

    Un pentágono tiene 5 lados, y se puede dividir en tres triángulos, así que ...

    ... sus ángulos interiores suman 3 × 180° = 540°

    Y si es regular (todos los ángulos son iguales), cada uno mide 540° / 5 = 108°

    (Ejercicio: asegúrate de que cada triángulo aquí suma 180°, y comprueba que los ángulos interiores del pentágono suman 540°)

                 La regla general

    Así que cada vez que añadimos un lado más (de triángulo a cuadrilátero, a pentágono, etc) sumamos otros 180°al total:

          Si es regular...
    Figura Lados Suma de los 
    ángulos interiores
    Forma Cada ángulo
    Triángulo 3 180° 60°
    Quadrilátero 4 360° 90°
    Pentágono 5 540° 108°
    Hexágono 6 720° 120°
    ... ... .. ... ...
    Cualquier polígono n (n-2) × 180° (n-2) × 180° / n

    La última línea puede ser un poco difícil de entender, así que vamos a ver un ejemplo.

    Ejemplo: ¿Qué pasa con un decágono (10 lados)?

    Suma de los ángulos interiores = (n-2) × 180° = (10-2)×180° = 8×180° = 1440°


    Y, si es regular, cada ángulo interior = 1440°/10 = 144°

     

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